Algo sobre conjuntos


Si te pregunto qué es un conjunto, seguramente alguna idea intuitiva de lo que es un conjunto tendrás. Podría decirse que un conjunto es una colección de elementos que tienen alguna característica en común. Si bien esta frase no sirve como definición a causa de la circularidad que se podría generar —¿cómo se define “una colección de elementos”? podríamos decir que es un conjunto—, en el lenguaje cotidiano los conjuntos aparecen asociados a las propiedades que sus elementos comparten. Por ejemplo, el conjunto formado por “los colores primarios” o el conjunto formado por “los números naturales menores a 10”.

Cuando describimos a un conjunto mencionando la propiedad común de los elementos que lo conforman, estamos describiendo a ese conjunto por comprensión. Si en cambio mostramos cuáles son los elementos del conjunto, estamos definiendo al conjunto por extensión, para los ejemplos antes mencionados sería {rojo, azul, amarillo} y {1,2,3,4,5,6,7,8,9} respectivamente. Se dice que “el listado” corresponde a la extensión de la propiedad.

Para que un conjunto esté bien definido, es necesario que podamos decidir si un elemento dado pertenece o no pertenece a ese conjunto. Si consideramos el conjunto formado por “los números naturales pares” podemos identificar cuáles son los elementos que contiene: todos los números naturales que son múltiplos de 2 y, dado un número, podemos decidir si pertenece o no al conjunto. No consideraremos conjunto a un grupo formado por “números muy grandes” dado que es subjetivo qué elementos contiene, ¿cuál es un número muy grande? ¿1.000? ¿1.000.000?

Según Cantor, que fue quien desarrolló la Teoría de conjuntos, “un conjunto es una multitud concebida por nosotros como una unidad”. Los elementos de estudio de la teoría son los conjuntos, se estudian sus posibles definiciones y propiedades, se clasifican según sus características, se definen las operaciones que se pueden realizar entre ellos, se desarrollan diferentes representaciones, y más. El propósito de Cantor al desarrollar esta teoría era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que generaba discordia entre muchxs matemáticxs ¿se puede concebir el infinito? ¿tiene sentido pensar su existencia cuando es inabarcable? ¿podemos hacer alguna afirmación respecto de elementos que no podemos representar por extensión (identificarlos uno a uno)? Si bien la teoría debía ser precisada y formalizada, Cantor estaba convencido de que podría compactar la información de un conjunto (que podría ser infinito) y considerarlo como un todo, aceptando ciertos supuestos básicos:

  • (i) Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad y, por lo tanto, queda definido por dicha propiedad.
  • (ii) Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.
  • (iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.

La conquista del infinito actual puede ser considerada una expansión de nuestro horizonte científico no menos revolucionaria que el sistema copernicano o que la teoría de la relatividad, o incluso que la teoría cuántica y la física nuclear.

Fraenkel – 1966

La teoría fue formalizada principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Skolem y Fraenkel hacia fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX. El objetivo de formalizar cada rama de la matemática, en particular la teoría de conjuntos, es poder definir ciertos axiomas (considerados como verdades absolutas) en los cuales se pueda basar la construcción matemática (proposiciones y teoremas) por medio de ciertas reglas (de inferencia) a partir de esos axiomas (lo que llamamos demostraciones). La importancia de la formalización está en la potencia que generaría poder usarla como base para expresar todas las verdades matemáticas. Los axiomas funcionarían como los ladrillos de la teoría.

Según Hilbert, un importante matemático formalista, “Las matemáticas son un juego que se juega de acuerdo a unas cuantas reglas simples y trazando en un papel unos símbolos carentes de significado”. Su propuesta de formalizar una a una las diferentes ramas de la matemática, empezando por la más elemental –la aritmética, cuyo objeto de estudio son los números naturales– llegó a ser conocida como el Programa de Hilbert alrededor de 1920.

¡Alerta espoiler! Gödel fue, entre tantas otras cosas, un lógico que demostró su famoso Teorema de incompletitud en el cual probó que la teoría aritmética elemental es incompleta: no es posible dar un conjunto finito de axiomas a partir de los cuales se puedan derivar todas las verdades de la teoría. Dado cualquier conjunto de axiomas se puede construir un resultado verdadero para la teoría e indemostrable a partir de esos axiomas, verdades que “se escapan” de la formalidad de la teoría, y por lo tanto la teoría (aritmética) resulta incompleta. En otra oportunidad, escribiré sobre él y sus controvertidos resultados que dan por tierra ese objetivo formalista.

La Paradoja del Barbero

Existen muchas versiones de Paradojas de Russell, aquí va una más:

Viajábamos a bordo de una embarcación con destino a las Islas Berruss y estaba todo bastante bien organizado. La tripulación contaba con más de un centenar de personas con roles asignados para cubrir las tareas necesarias para realizar el viaje con éxito.

Al cabo de unos días nos dimos cuenta de que la barba de algunos tripulantes que no se afeitaban a sí mismos crecía y crecía y no había ninguna persona a bordo designada para cumplir el rol de barbero. Después de un intenso debate se decidió que Luis se ocupara de afeitar pura y exclusivamente a aquellos tripulantes que no se afeitaran a sí mismos. Casi todos estuvimos de acuerdo, Luis era un viejo conocido, experto en el uso de navajas y confiamos la tarea en él.

Al día siguiente, después del desayuno, todos vimos cómo Luis levantó su taza, guardó sus cosas, salió a cubierta y se tiró al mar, perdiendo instantáneamente la vida ¿qué llevó a Luis a tomar esta terrible decisión?

Con mucha incertidumbre nos reunimos como pudimos en el comedor. Se rumoreaba que la noche anterior, después de aceptar su designación como el barbero de la tripulación, Luis estaba medio apagado, tenía una expresión de extrañeza en el rostro, estaba como “ido”. Lo habían visto con esa actitud fantasmal cuando se retiró a su camarote para descansar. Era raro en Luis, justo él se destacaba por ponerle onda y levantar los ánimos ante situaciones muy difíciles que vivimos en altamar.

Según parece esa noche Luis no logró dormir. Había una duda que le daba vueltas en la cabeza. Si él había sido designado para afeitar a aquellos hombres que no se afeitaran a sí mismos entonces él ¿debía afeitarse a sí mismo o no? Encontramos dentro de un cajón en su camarote un papel escrito de su puño y letra que decía:

“Si me afeito a mí mismo, no debería hacerlo porque soy un hombre que se afeita a sí mismo, y esa no fue la tarea que me encomendaron ¡no!, me dijeron que debo afeitar exclusivamente a los hombres que no se afeiten a sí mismos, por lo tanto no debería hacerlo. Pero si no me afeito, soy un hombre que no se afeita a sí mismo y entonces sí debería hacerlo, ¡es mi obligación, asumí ese compromiso! Este dilema me tiene atormentado. No puedo cumplir la tarea que me fue encomendada. No puedo soportar la angustia que me genera fallarle a esta gran familia”.

Al no poder resolverlo decidió marchar ¡pobre Luis!

El origen de la paradoja (y de la ausencia de Luis)

Ya hablamos de conjuntos. Nuestra intuición podría llevarnos a generalizar la idea de que para cada cualidad que podamos pensar existirá un conjunto asociado con ella (formado por los elementos que tienen esa cualidad). El problema es que esta “intuición” no puede desarrollarse irrestrictamente dentro de una teoría de conjuntos sin generar contradicciones. Bertrand Russell demostró que un sistema axiomático que contenga como uno de sus principios que “toda propiedad puede ser extensible” –como lo hacía la teoría de Frege– genera inconsistencias dentro del sistema.

Según establecía su teoría, Frege consideraba que existen algunos conjuntos que son elementos de sí mismos y otros conjuntos que no lo son. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de “las personas que viven en Argentina” no es un miembro de sí mismo en cuanto ese conjunto no es una persona que vive en Argentina, pero el conjunto formado por “todos los conjuntos no vacíos” sí es un elemento de sí mismo ya que al existir al menos un conjunto no vacío, ese conjunto también es no vacío y por lo tanto miembro de sí mismo ya que contiene a TODOS los conjuntos no vacíos, incluido él.

Aquí el problema: si consideramos la propiedad “no es miembro de sí mismo”, la extensión de este predicado es el conjunto formado por todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Llamemos a este conjunto R.

Ahora bien, dado que R es un conjunto, podemos preguntarnos ¿es R un miembro de sí mismo? Con paciencia analizamos:

  • Si R no pertenece a sí mismo, entonces tiene la propiedad que verifican todos los elementos de R (no ser elementos de sí mismos) y por lo tanto debería pertenecer a R que contiene a todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
  • Si R pertenece a sí mismo, entonces no debería pertenecer dado que los elementos de R son aquellos conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Hemos llegado a un absurdo que parte de suponer que existe un conjunto que contiene a todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Es decir, que encontramos una propiedad (la de no ser miembro de sí mismo) a la que no le corresponde consistentemente ninguna extensión. Dicho de otra forma, el propio conjunto, es un elemento del que no se puede decidir si pertenece o no pertenece al conjunto en cuestión (él mismo). Por lo tanto, el conjunto no estaría bien definido y entonces existe una propiedad que no puede ser extensible (contradiciendo la teoría de Frege).

Lo que muestra un ejemplo como R es que el precepto “toda cualidad puede ser extensible” es contradictorio y, por lo tanto, no puede ser un axioma de la teoría si uno de los objetivos es evitar las contradicciones. Cuando Russell demostró esto, Frege acababa de terminar su tratado Grundgesetze der Arithmetic (Las leyes fundamentales de la aritmética), el primer intento de reducción de la aritmética a un sistema lógico formal. La lógica que empleó Frege, aunque era adecuada para expresar verdades aritméticas, era incoherente, y esto es lo peor que le puede pasar a un sistema axiomático. A partir de un sistema incoherente se puede demostrar absolutamente cualquier cosa (y por lo tanto ninguna), no posee valor alguno como instrumento de demostración. ¡Pobre Frege!

En Símbolos

La relación que existe entre los miembros de un conjunto y el conjunto que los contiene se conoce como la relación de pertenencia. Escribimos este hecho en símbolos como

    \[x\in A\]

y se lee “\text{ el elemento x pertenece al conjunto A}”. Notamos la negación de este hecho con el símbolo de pertenencia tachado,

    \[x\notin A\]

Cuando agrupamos algunos elementos de un conjunto (A) y formamos con ellos un nuevo conjunto (B) estamos formando un subconjunto de A. Por ejemplo, si tomamos

    \[A=\{1, 2, 3, 4, 5\}\]

un subconjunto de A es

    \[B=\{2, 3, 5\}\]

formado por algunos de sus elementos (¿cuántos subconjuntos distintos se podrían formar con los elementos de A?).

El conjunto I de los números naturales impares está formado por algunos de los elementos del conjunto \mathbb{N} al que pertenecen todos los números naturales. Si bien ya demostramos que la cantidad de elementos de ambos conjuntos es la misma (en Infinitos infinitos) decimos que el conjunto I está contenido en \mathbb{N} y lo notamos con símbolos

    \[I\subseteq \mathbb{N}\]

En términos de conjuntos se describe este hecho como

    \[x \in I \Rightarrow x \in \mathbb{N}\]

La flecha representa la implicación lógica “entonces” y se lee: \text{ si x pertenece al conjunto I entonces pertenece al conjunto (que lo contiene) } \mathbb{N}.

En el caso en que se diera la doble relación, supongamos dos conjuntos M y S tales que M\subseteq S y también S\subseteq M podríamos deducir que los conjuntos M y S son iguales, están formados por los mismos elementos (como lo describe el tercer supuesto de Cantor), y en términos de conjuntos se describe usando la doble implicación, esto es,

    \[x\in M \Leftrightarrow x \in S\]

y esto se lee: \text{ x pertenece al conjunto M si y sólo si pertenece al conjunto S} (si el elemento x pertenece a M entonces pertenece a S y si pertenece a S entonces pertenece a M).

La paradoja de Russell en términos formales

Sea R el conjunto formado por todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Formalmente definimos:

    \[R=\{x / x \notin x\}\]

Según la teoría de conjuntos de Cantor, se puede describir al conjunto R como:

    \[(*) \forall x,\ x\in R \Leftrightarrow x\notin x\]

Los elementos de R son aquellos que no se contienen a sí mismos como elementos.

La expresión \forall x representa “para todo x” y x representa cualquier conjunto.

Es decir que (*) dice: \text{ para todo conjunto x, x pertenece a R si y sólo si x no es un elemento de sí mismo.}

Como R es un conjunto, y el predicado se expresa para todo conjunto, podemos reemplazar el elemento x por algún conjunto particular, por ejemplo R y quedaría:

    \[R\in R \Leftrightarrow R\notin R\]

Es decir que R es un elemento de sí mismo si y sólo si no es un elemento de sí mismo. Lo que resulta imposible desde un punto de vista lógico.

La paradoja de Cantor (Dios no existe)

Dado un conjunto U, se define el conjunto potencia o de partes de U, lo notamos P(U), que está formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de U. Por ejemplo, si

    \[U=\{x, y, z\}\]

su conjunto potencia es

    \[P(U)=\{\emptyset , \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\}\]

El mismo conjunto U es un elemento del conjunto potencia, ya que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. En este ejemplo, el cardinal de U es 3 (la cantidad de elementos que conforman el conjunto) y el cardinal de P(U) es 2^{3}=8. Dado cualquier conjunto de cardinal n, su conjunto potencia tendrá 2^{n} elementos.

Esto tiene pinta parecida (y está relacionado) a lo que les conté de la comparación entre el cardinal del conjunto de números naturales \aleph_{0} y el cardinal de los números reales c=2^{\aleph_{0}}. Sabemos que no se puede establecer una biyección entre los elementos de \mathbb{N} y \mathbb{R} porque la cantidad infinita de números naturales es menor que la cantidad infinita de números reales y, entonces, \aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}.

Cantor demostró que el cardinal del conjunto potencia es siempre mayor que el cardinal del conjunto en sí.

Dentro de la teoría de conjuntos, otra fuente de paradojas es la noción de existencia de un conjunto universal, un conjunto formado por todos los conjuntos que estudia la teoría.

Si consideramos U el conjunto universal, todos los conjuntos pertenecen a U, también cada subconjunto de U y los subconjuntos de subconjuntos. Por lo tanto, el conjunto P(U) también pertenece a U.
No puede existir un conjunto de cardinal mayor al del conjunto universal. Esto implica que el cardinal de cualquier otro conjunto, incluso el de P(U), es menor o igual que el cardinal de U. Pero esto contradice la relación entre los cardinales de un conjunto y su conjunto potencia demostrada por Cantor. Entonces, si existiera un conjunto universal, su cardinal debería ser a la vez mayor y menor al cardinal de su conjunto potencia, llevándonos a una contradicción.

Pues entonces, Dios, creador universal, el magnánimo, el más poderoso, el que todo lo puede ¿tendrá el poder de crear un ser –a su imagen y semejanza– que sea más poderoso aún que Él?

Hay que reconocer que la situación actual, después de toparnos con las paradojas, es intolerable. Pensar que las definiciones y los métodos deductivos que todo el mundo aprende, enseña y emplea en matemática ¡llevan a tales absurdos! Si el pensamiento matemático es defectuoso ¿dónde vamos a encontrar verdad y certeza?

Hilbert ~ 1920

Paradojas semánticas

Es interesante la comparación entre el problema que presentan las paradojas de conjuntos y las paradojas semánticas que involucran el concepto de verdad, así como las soluciones propuestas para no caer en tales paradojas.

Un ejemplo de este tipo de paradojas es la conocida frase del mentiroso que afirma:

(M) “Esta frase es falsa”

Si M fuera verdadera, entonces lo que dice es cierto y luego la frase sería falsa. Por otro lado, si M fuera falsa, entonces lo que dice no es cierto y por lo tanto la frase sería verdadera. En ambos casos se genera una contradicción y entonces no podemos decidir respecto de la verdad o falsedad de la oración.

La solución clásica al problema que presentan las paradojas semánticas consiste en no permitir este tipo de usos del predicado de verdad. Si p es un predicado y queremos analizar si p es verdadero o falso, p no puede expresar en su contenido la idea de verdad o falsedad. El argumento es que el predicado de verdad de un lenguaje pertenece al metalenguaje, un lenguaje de nivel superior. Entonces la paradoja se genera por “confundir” estos niveles del lenguaje. En lugar de un lenguaje universal único, en el que todo puede ser expresado, se postula una jerarquía de lenguajes en la cual el concepto de verdad aplicable a un lenguaje pertenece al lenguaje de nivel inmediatamente superior.

La solución clásica a las paradojas de conjuntos sigue más o menos el mismo camino. Se fijan restricciones a la relación de membrecía, no cualquier elemento puede ser miembro de un conjunto y se resuelve jerarquizar los conjuntos. Russell propuso la Teoría de los tipos, en la cual establecía que nunca un conjunto puede ser miembro de sí mismo, más aún, no tiene sentido preguntárselo ya que los conjuntos y sus elementos pertenecen a niveles o tipos lógicos diferentes. Objetos de un tipo dado están formados exclusivamente por objetos de un tipo anterior, evitando ciclos. La teoría de Zermelo-Fraenkel, que tiene algunos puntos en común con la de Russell y difiere en otros, considera que no es un sinsentido preguntarse si un conjunto pertenece a sí mismo, simplemente es falso, ya que la existencia de los elementos de un conjunto es previa a la existencia del conjunto que los contiene, tienen una “prioridad lógica” respecto de éste, se puede interpretar en términos temporales si consideramos la existencia de un conjunto como algo real. Primero existe el elemento, recién después forma parte de –y constituye– un conjunto.

La teoría ZF+

No hay algo así como un “consenso total de lxs matemáticxs” respecto de qué sistema adoptar. La teoría de conjuntos más difundida actualmente es la atribuida a Zermelo-Fraenkel (ZF), que fue desarrollada entre 1908 y 1920. Ha sido modificada a lo largo de los años y, hay que decirlo, es el resultado de una construcción entre muchas más que dos personas. No existe una única versión de esta teoría, sino que está formada por un núcleo de definiciones y axiomas centrales de las cuales se puede extraer la noción de conjunto. Algunos de los axiomas que comprende la Teoría ZF no son universalmente aceptados por ser considerados “menos intuitivos” que otros. Además, no hay una única formulación de cada axioma del sistema ZF…

Como verán, la matemática –al contrario de lo que se suele suponer– no es estática y cerrada, sino dinámica y hasta las cuestiones más básicas (de base) continúan siendo motivo de reflexión y debate. Estudiar y definir el marco teórico del objeto de estudio es una tarea indispensable para no generar inconsistencias dentro de la teoría.

Entonces, si bien tenemos una idea intuitiva de lo que es un conjunto, y en nuestra vida cotidiana “funciona” esa intuición, ¡tengamos cuidado! habría que aclarar el sistema axiomático que estamos considerando ¡pobres de nosotrxs!

Para escribir esta nota saqué algunos datos de:
– Sartorio, Ana Carolina (2000), Conjuntos e infinitos, Argentina, Eudeba.
– Goldstein, Rebecca (2005), Gödel, paradoja y vida, (Incompletness: The proof and paradox of Kurt Gödel), traducción de Victor Úbeda, España, Antonio Bosch editor.

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