En mi nota anterior (Parte I), mostré que existen distintos conjuntos que tienen una cantidad infinita de elementos y que, aunque algunos conjuntos parecían tener más elementos que otros, en efecto, tienen la misma cantidad. En concreto, comparamos la cantidad de elementos del conjunto \mathbb{N} (de los números naturales) con un subconjunto propio, el conjunto de los números naturales pares. Si bien los pares son “la mitad” de todos los números naturales, ambos conjuntos tienen infinitos elementos, más aún, tienen la misma cantidad de elementos. Esa cantidad la representamos con el primer cardinal transfinito \aleph_{0}.

Si aún no leíste la primera parte de esta nota, te recomiendo que lo hagas antes de seguir, te la dejo acá.

Entonces, varios conjuntos de números tienen el mismo cardinal: los naturales, los enteros, los racionales… Todos ellos tienen \aleph_{0} elementos. A los conjuntos que tienen esta cantidad de elementos los llamamos conjuntos numerables.

Se llama número cardinal al símbolo que representa la cantidad de elementos de un conjunto. Si tenemos, por ejemplo, el conjunto formado por los colores primarios {rojo, azul, amarillo} decimos que es un conjunto finito de cardinal 3. Ese 3 es el símbolo que representa la cantidad de elementos del conjunto de los colores primarios.

Los cardinales que representan cantidades infinitas se llaman cardinales transfinitos. Les decía que \aleph_{0} es el más chico de muchos. Una curiosidad de los números cardinales transfinitos es que no verifican las mismas reglas que los números cardinales finitos. Acá va un ejemplo: en la Parte I, por un lado demostramos que el conjunto de los números naturales pares (P) tiene cardinal \aleph_{0}, y no es difícil demostrar que el conjunto de los números naturales impares también tiene cardinal \aleph_{0} (¿cómo lo demostrarías?). Entonces el conjunto de todos los números naturales \mathbb{N} tiene \aleph_{0} + \aleph_{0} elementos (cantidad de números pares + cantidad de números impares). Por otro lado, sabemos que la cantidad de elementos de \mathbb{N} es también \aleph_{0}. Por lo tanto estamos ante un hecho extraño:

¡¡\aleph_{0} + \aleph_{0} = \aleph_{0}!!

Esta regla, si la estuviéramos pensando con cardinales finitos, sólo la cumple el cardinal 0 (símbolo que representa la cantidad de elementos del conjunto vacío que notamos \emptyset). Cualquier otro cardinal finito no la verifica.

La misma regla nos lleva a la igualdad:
\aleph_{0} - \aleph_{0} = \aleph_{0} (por ejemplo si al conjunto de todos los números naturales, le quitamos los infinitos números pares, seguiremos teniendo un conjunto con la misma cantidad de elementos… ¡sorprendente!).

Lo prometido es deuda

Quedaba pendiente mostrar que no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cantidad de elementos. Aquí entra en juego el conjunto \mathbb{R} que está formado por todos los números reales. Este conjunto contiene a los números racionales (que contiene a los enteros (que contiene a los naturales)) –todos ellos con cardinal \aleph_{0}, es decir, numerables– y también contiene a los números llamados irracionales (no-racionales) que son aquellos que no pueden ser representados con una fracción. Ejemplos clásicos de números irracionales son \pi, \sqrt{2}, \sqrt{5}, e, etc.

¿Cómo haremos para demostrar que el conjunto \mathbb{R} no es numerable? La estrategia que usaremos es una demostración por el absurdo: vamos a suponer que este conjunto es numerable y llegaremos a una contradicción.

Empecemos por ahí. Supongamos que \mathbb{R} es numerable. Una propiedad que tienen los conjuntos numerables es que se los puede enlistar, poner en una lista en orden, el primero, el segundo, el tercero, y así sucesivamente. Como lo hicimos en la Parte I, esto es equivalente a establecer la relación con los elementos de \mathbb{N}.

Para simplificar un poco la idea, en vez de enumerar todos los números reales vamos a quedarnos con un subconjunto propio: el intervalo de números reales que está entre 0 y 1 (¿muchos menos?). Estos números empiezan todos de la misma forma 0,…

Podemos descartar de este listado uno de aquellos números que podrían parecer equivalentes como por ejemplo 0,49999999999999999 y 0,5. Más aún, para simplificarlo un poco más, podemos quedarnos sólo con aquellos números reales que están entre 0 y 1 que están formados exactamente por dos dígitos decimales distintos, elijamos el 2 y el 6. Algunos ejemplos de números que están en este listado son:

0,262626262626262626…
0,222222266666666222…
0,626666666666666666…
0,222222222222222222…

Entonces vamos a suponer que los números reales que están en el intervalo (0; 1) y que se pueden formar con sólo dos dígitos se pueden listar (o poner en correspondencia con los números naturales, lo que es lo mismo). Armamos esa lista (en cualquier orden, no necesariamente de menor a mayor o viceversa):

1  \dots  \dots 0,22222226662666262626…
2  \dots  \dots 0,26262626262626262626…
3  \dots  \dots 0,22222666622266666222…
4  \dots  \dots 0,62666622226626666266…
5  \dots  \dots 0,22222226666666622222…
6  \dots  \dots 0,66626266622266626622…
7  \dots  \dots 0,62666666666666666666…

Suponemos que esta lista (infinita) los contiene a todos.

Les voy a mostrar que podemos construir un número real que está en el intervalo (0; 1) y que se forma con los dígitos 2 y 6 que no está en la lista, lo cual nos llevaría a una contradicción. Lo hacemos de la siguiente manera:

  • El número empieza con la forma 0, … (está entre 0 y 1).
  • Difiere del primero de la lista en el primer dígito decimal (después de la coma): si el primer número tiene un 2, es decir, es de la forma 0,2… armaremos uno que empiece 0,6…
  • Difiere del segundo de la lista en el segundo dígito decimal (si en ese lugar el segundo número tiene un 6, al que estamos construyendo le ponemos un 2, o viceversa).
  • Difiere del tercero de la lista en el tercer dígito decimal.
  • (Generalizando) Difiere del k-ésimo de la lista en el k-ésimo dígito decimal.

Construcción a partir de la lista:
0,22222226662666262626…
0,26262626262626262626…
0,22222666622266666222…
0,62666622226626666266…
0,22222226666666622222…
0,66626266622266626622…
0,62666666666666666666…

Construimos: 0,6262662

Por cómo lo armamos, este número está entre 0 y 1, está formado sólo por los dígitos 2 y 6 y ¡difiere de todos los números en la lista! Esto es una contradicción dado que habíamos supuesto que en la lista estaban todos.

La misma prueba se puede hacer con todos los números del intervalo (0; 1) –quitando los equivalentes–. Suponemos que los podemos enlistar a todos:

            \begin{array}{l}            X_1= 0, x_{11}\ x_{12} \ x_{13} \ x_{14} \ x_{15} \ x_{16} \dots\\            \\            X_2= 0, x_{21}\ x_{22} \ x_{23} \ x_{24} \ x_{25} \ x_{26}\dots\\            \\            X_3= 0, x_{31}\ x_{32} \ x_{33} \ x_{34} \ x_{35} \ x_{36} \dots\\            \\            X_4= 0, x_{41}\ x_{42} \ x_{43} \ x_{44} \ x_{45} \ x_{46} \dots\\            \\            X_5= 0, x_{51}\ x_{52} \ x_{53} \ x_{54} \ x_{55} \ x_{56} \dots\\            \\            X_6= 0, x_{61}\ x_{62} \ x_{63} \ x_{64} \ x_{65} \ x_{66} \dots\\            \vdots\end{array}

En este listado las variables x_{ij} representan el j-ésimo dígito decimal del i-ésimo número de la lista.

Siempre podremos construir un número que no se encuentre en la lista (aunque supusimos que estaban todos), con la misma lógica, reemplazando cada dígito por el “siguiente” y en caso de que sea 9 lo cambiamos por 0:

Por ejemplo, si la lista empezara con los números

0,65998884877899…
0,25655654899753…
0,15554879964885…
0,05578466251965…
0,51447100236594…
0,11152955632665…
0,14477737888788…

Generamos el número:  0,7668804… que difiere del primero en el primer dígito decimal, difiere del segundo en el segundo dígito decimal, y así sucesivamente… y por lo tanto es distinto de todos en la lista.

La contradicción se genera porque estamos suponiendo que se puede enlistar a los números reales que están entre 0 y 1, estamos suponiendo que es un conjunto numerable. Pero de ser así siempre se nos escapa alguno, podremos construir uno que no está en el listado “completo”.

Alguien podría pensar “Bueno, lo agrego y ahora sí están todos en la lista”. Pero no. Podés agregarlo y construir un nuevo número que tampoco estará incluido en el listado supuestamente completo. Pensalo un rato más.

Con esto probamos que el conjunto de números reales que están entre 0 y 1 no es numerable, y por lo tanto, como el conjunto de todos los números reales contiene al intervalo (0; 1), podemos concluir que el conjunto \mathbb{R} no es numerable, tiene infinitos elementos y más que \aleph_{0}. O sea que tan solo en el intervalo (0; 1) hay más elementos que en el conjunto de todos los números naturales!!

El cardinal transfinito que representa la cantidad de elementos de \mathbb{R} es c. La relación que existe entre este cardinal y el de los conjuntos numerables es c= 2^{\aleph_{0}}. Para entender por qué: https://es.wikipedia.org/Archivo:Countable.vs.Continuum.svg

Para seguir indagando…

En teoría de conjuntos, hay una hipótesis que fue formulada por Georg Cantor en 1878 (llamada la hipótesis del continuo) que plantea que no existen conjuntos infinitos que tengan cardinal estrictamente mayor que \aleph_{0} y estrictamente menor que c. Es decir, la hipótesis es que no existe un conjunto infinito cuyo cardinal esté comprendido entre \aleph_{0} y c.

Si en la teoría de conjuntos se incluye un axioma llamado “Axioma de elección”, todos los cardinales transfinitos son del tipo \aleph_{i} y tienen un buen orden: \aleph_{0}, \aleph_{1}, \aleph_{2}, etc. Junto con este axioma la hipótesis se convierte en:

c=2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}, es decir, \aleph_{0} es el menor número cardinal transfinito y c sería el siguiente.

Esta hipótesis resulta indecidible: Göedel en 1938 probó que no puede refutarse (no es falsa) y Cohen en 1964 probó que no puede demostrarse (no es verdadera), al menos desde un punto de vista de la lógica formal… Pero esto no termina ahí, para muchxs matemáticxs aún sigue abierto (escribiendo esta nota encontré la página http://www.ii.com/math/ch/ en la que se profundiza esta cuestión, para lxs interesadxs).

Próximamente intentaré ahondar en la idea de las proposiciones indecidibles (Kurt Gödel para lxs curiosxs)… Como verán un tema lleva a otro… la teoría matemática es hermosamente infinita…

19 COMENTARIOS

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