Infinito Actual vs. Infinito Potencial

Hay dos concepciones acerca del infinito, y la manera más clara para entender su diferencia es en términos temporales: una entiende al infinito como “la cantidad de elementos de un conjunto infinito” en un momento dado, como una noción de existencia sincrónica, que sucede en un presente determinado. Por ejemplo, “hay una cantidad infinita de números primos” o “una recta tiene infinitos puntos” o “el conjunto de los números naturales es infinito”. Esta es la noción de infinito actual. Colecciones infinitas de elementos dados todos juntos. El infinito potencial, en cambio, considera que un conjunto infinito es aquél al que “se le pueden agregar más y más elementos”, se entiende como ilimitación, como la posibilidad de aumentar (o disminuir) indefinidamente una magnitud dada. Por ejemplo “para todo número primo dado siempre es posible encontrar un número primo mayor”.

Que una recta sea infinita puede querer decir que dados dos puntos cualesquiera de la recta, es posible encontrar dos puntos en ella que estén aún más alejados entre sí. O también, que dados dos puntos de la recta lo más cercanos que se quiera, siempre podré encontrar un tercer punto entre ellos. En ambos casos estamos bajo la noción de infinito potencial, “siempre podré encontrar un elemento más”. En cambio, si consideramos el conjunto de todos los puntos de la recta y entendemos que esos “infinitos puntos” existen de una vez, en simultáneo, estaremos interpretando el infinito de forma actual.

La noción de infinito potencial fue la predominante antes de la aparición de la Teoría de conjuntos ideada originalmente por el matemático Georg Cantor (nacido en 1845, San Petersburgo, Rusia) que, en un intento por describir una concepción peculiar del infinito, incluye esta noción de infinito actual.

“Es por esta concepción del infinito, en última instancia, que la teoría (de conjuntos) sigue siendo vista por algunos como un logro importantísimo del intelecto humano, y por otros, como una aberración que peca de falta de humildad” (Sartorio p.69)[1]

El concepto de infinito actual permite analizar y establecer características de conjuntos que hasta ese momento quedaban fuera de alcance: “Lo que hay que rescatar de la teoría de conjuntos es esta novedad de permitirnos hablar de colecciones infinitas de elementos como entidades con identidad propia, como entidades en sí mismas, por más que sus elementos sean infinitos y nosotros, como seres finitos, nunca podamos llevar a cabo la enumeración completa de sus miembros […] Si el tema del infinito siempre fue una fuente de discusiones filosóficas inagotable, ahora, a partir de la teoría de conjuntos, esta discusión se ha nutrido de nuevos elementos” (Sartorio p.71)

¿Cuántos elementos tiene un conjunto infinito?


El conjunto de los números naturales \mathbb{N} es conocido por ser el conjunto de “los números que usamos para contar”, \mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, \dots \}. En algunos contextos este conjunto podría incluir al número 0, en este caso lo dejaremos de lado. Sabemos que este conjunto consta de infinitos elementos, ¿verdad? Siempre que me detenga, aunque sea en un número muy grande, podré encontrar otro elemento del conjunto que sea mayor. Si bien es un conjunto que tiene un orden “natural” (que en realidad es un orden que tenemos naturalizado) y contiene un “primer elemento”, no existe uno que sea “el último elemento” del conjunto.

Los elementos de \mathbb{N} presentan diversas características: algunos números son pares, otros impares, algunos son primos, otros perfectos, algunos son divisibles por 10, otros son múltiplos de mil, etc. Se establece que el cardinal (símbolo que representa la cantidad de elementos) del conjunto \mathbb{N} es \aleph_{0} (se lee “Alef cero”). Los conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto \mathbb{N} se dice que son conjuntos (infinitos) numerables.
\aleph_{0} es el primer cardinal transfinito (representa una cantidad infinita), el siguiente número cardinal es \aleph_{1} luego \aleph_{2}, \aleph_{3}, etcétera. Ya nos detendremos a hablar un poco más de los números transfinitos.

En muchos casos no nos interesa conocer cuántos elementos tiene un conjunto sino comparar si algún conjunto tiene más, menos o la misma cantidad de elementos que otro. Por ejemplo, si en una reunión hay personas paradas y ninguna silla vacía, podría concluir que hay más personas que sillas, si en cambio veo que no hay personas paradas y hay sillas desocupadas, podré concluir que hay más sillas que personas presentes en la reunión. Sin embargo, en ningún caso me detuve a contar cuántas personas o sillas hay.

Consideremos dos subconjuntos del conjunto de números naturales: uno formado por los números pares P y otro formado por los números impares I. Los números pares son aquellos que son múltiplos de 2 o, lo que es lo mismo, divisibles por 2. Describimos esta característica en términos matemáticos como los elementos \{p\in \mathbb{N} \text{ tales que } p=2.n \text{ para algún } n \in \mathbb{N} \}. En el conjunto \mathbb{N}, el número consecutivo de un número par es siempre impar, por eso definimos I como el conjunto cuyos elementos tienen la propiedad de ser el “consecutivo de algún número par”. Entonces podríamos formar dos subconjuntos disjuntos (no tienen elementos en común) del conjunto \mathbb{N}, tales que cada uno de ellos está formado por algunos de sus elementos:
P =\{2, 4, 6, 8, 10, \dots \}
I=\{1, 3, 5, 7, 9, \dots \}

Los pares

Quedémonos por un rato con el conjunto P ¿cuántos elementos tiene este conjunto? Como el conjunto P está formado por algunos elementos de \mathbb{N} (aquellos números naturales que además son múltiplos de 2), sería raro pensar que P tiene más elementos que \mathbb{N}. Podríamos pensar que tiene menos elementos, intuitivamente pareciera que P tiene la mitad de los elementos de \mathbb{N}. Ahora bien, sabemos que el conjunto \mathbb{N} tiene infinitos elementos, ¿cuánto es la mitad de infinito?

La estrategia clásica para comparar la cantidad de elementos que tienen dos conjuntos, llamémosles A y B, sería intentar establecer una relación “uno a uno” entre los elementos de uno y otro conjunto, formando pares de elementos (a, b) donde “a” representa un elemento de A y “b” un elemento de B. En caso de agotar todos los elementos de ambos conjuntos “en simultáneo” podremos concluir que los conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, o, en caso de que durante el procedimiento alguno de ellos “se quede sin elementos”, supongamos A, entonces podremos concluir que el conjunto B tiene más elementos que A (así como lo hicimos en la reunión en la que comparamos cantidad de personas con cantidad de sillas).

De la misma forma podemos hacerlo para los conjuntos \mathbb{N} y P, empecemos agrupando los primeros elementos de cada conjunto (asumiéndolos ordenados de menor a mayor):

\mathbb{N}  \dots  \dots P
1  \dots  \dots 2 (primer elemento de cada conjunto)
2  \dots  \dots 4 (segundo elemento de cada conjunto)
3  \dots  \dots 6 (tercer elemento de cada conjunto)
4  \dots  \dots 8 (etc.)
5  \dots  \dots 10
6  \dots  \dots 12

¿Se ve cuál es la relación que se podría establecer entre los elementos de cada conjunto?
A cada elemento del conjunto \mathbb{N} le corresponde su doble que es un número par y por lo tanto es un elemento del conjunto P. En lo que respecta a los elementos del conjunto P ¿será cierto que todos los elementos de P son alcanzados por esta relación? ¿a cada elemento del conjunto P le puedo asignar un elemento del conjunto \mathbb{N}? Estamos pensando el problema inverso. Como vemos al inicio del listado, por ejemplo, al número 4 (par, elemento de P) le asigno el 2 (de \mathbb{N}), al 10 le asigno el 5, ¿y al 2800?

Es así que establecemos una relación* entre los dos conjuntos:
La asignación en el sentido \mathbb{N} \rightarrow P, le asigna a cada elemento de \mathbb{N} su doble, que es un elemento de P.
La asignación en el sentido P \rightarrow \mathbb{N} le asigna a cada elemento de P su mitad.
(*visto de otra forma pero es la misma relación)

Lo importante de esta relación “asignarle su doble” que definimos para aparear los elementos de uno y otro conjunto, es que es una relación “uno a uno” (también conocida como biyectiva o biunívoca), esto quiere decir que a cada elemento del conjunto \mathbb{N} (o P) le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto P (o \mathbb{N}). Con esto demostramos, más allá de nuestra intuición, que la cantidad de números naturales pares es igual a la cantidad total de números naturales. Sorprendente ¿no es cierto?

Una caracterización de los conjuntos infinitos es la siguiente:
“Un conjunto es infinito si algún subconjunto propio (estrictamente incluido) tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto total”.

Respiremos. Sigamos.

Los enteros

Pensemos ahora en la cantidad de elementos que tiene el conjunto de los números enteros \mathbb{Z}, el cual incluye, además de los números naturales, al cero y a los opuestos de los números naturales, es decir, los números negativos: \mathbb{Z}=\{\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}.

Es un conjunto infinito (incluye al conjunto \mathbb{N} que lo es), pero ¿cuántos elementos tiene? Sin mucho análisis, podríamos suponer que este conjunto tiene algo así como “el doble más uno” de la cantidad de elementos que el conjunto \mathbb{N}, ya que tiene a todos los elementos de \mathbb{N}, a todos sus opuestos y al cero.

Tratemos de establecer una relación biunívoca entre \mathbb{N} (primer columna) y \mathbb{Z} (segunda columna). Se me ocurre la más obvia:
1  \dots  \dots 1
2  \dots  \dots 2
3  \dots  \dots 3
4  \dots  \dots 4
etc.

Pero de este modo, al ser \mathbb{N} un conjunto infinito pareciera que nunca podré empezar a listar los números negativos que hay en \mathbb{Z}. En cambio, si asignamos los elementos en otro orden, por ejemplo:

1  \cdots  \cdots  \  0
2  \cdots  \cdots -1
3  \cdots  \cdots  \  1
4  \cdots  \cdots -2
5  \cdots  \cdots  \  2
6  \cdots  \cdots -3
7  \cdots  \cdots  \  3
etc.

Así, al recorrer todos los elementos de \mathbb{N}, estaremos también recorriendo todos los elementos de \mathbb{Z}.
A cada elemento n del conjunto \mathbb{N} le asigno un elemento z del conjunto \mathbb{Z} con la siguiente regla:

n  \text{ par }  \rightarrow z= \dfrac{n}{(-2)}
n  \text{ impar } \rightarrow z= \dfrac{n-1}{2}

¿Podré establecer que esta relación es “uno a uno”?
Para eso, necesitamos pensar el problema inverso: qué elemento del conjunto \mathbb{N} le corresponde a cada elemento del conjunto \mathbb{Z}.

Si elijo el -1 de \mathbb{Z} ¿cuál le corresponde del conjunto \mathbb{N}? El 2 (lo podemos ver en el listado más arriba). Pero por ejemplo al -10 ¿cuál le corresponde? A priori no sé si proviene de un número par o impar.
Supongamos que proviene de un número impar, entonces según la relación establecida más arriba, debería existir un número n en \mathbb{N} tal que:
-10= \frac{n-1}{2}  (multiplicamos por 2 ambos miembros)
-20=n-1  (sumamos 1 en ambos miembros)
-20+1=n
-19=n

Lo que es un absurdo porque el elemento n de \mathbb{N} es un número natural y por lo tanto no puede ser negativo… esto implica que el -10 no está relacionado con un número impar de \mathbb{N}.

Supongamos ahora que proviene de un número par, entonces debe existir un n en \mathbb{N} tal que:
-10= \frac{n}{(-2)}   (multiplicamos por -2)
20=n
¡proviene del 20! Al número 20 de \mathbb{N} le corresponde el elemento z=20/(-2)= -10.

¿Será cierto que este procedimiento lo podemos replicar para cualquier número del conjunto \mathbb{Z}? Sí, porque la relación que establecimos es lo que se dice “inversible”.

z= \dfrac{n}{(-2)} \longleftrightarrow n=z.(-2) vale si z es negativo,

z= \dfrac{n-1}{2} \longleftrightarrow n=2.z+1 vale si z es positivo o cero.

Es decir, para cada elemento del conjunto \mathbb{N} puedo calcular qué elemento le corresponde del conjunto \mathbb{Z} y, al revés, para cada elemento del conjunto \mathbb{Z} puedo identificar qué elemento le corresponde del conjunto \mathbb{N}. Como pudimos establecer alguna relación biyectiva (“uno a uno”) entre los elementos de los dos conjuntos podremos concluir que tienen la misma cantidad de elementos, es decir, hay la misma cantidad de números enteros que de números naturales ¿kéeeee?

Es importante aclarar que la “regla de asignación” podría ser otra, la estrategia pasa por encontrar (si existe) alguna regla de asignación biyectiva entre los conjuntos que queremos comparar.

Los racionales

Y el conjunto de los números racionales \mathbb{Q}, ¿cuántos elementos tiene?
Este conjunto está formado por fracciones (divisiones) de números enteros. Se puede demostrar que el conjunto de los números racionales también es numerable (tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números naturales \mathbb{N}). Una forma de ordenarlos para “recorrerlos a todos” es la siguiente:

\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrc}0&&&&&&&&&&&&\\\\1/1&&1/2&&1/3&&1/4&&1/5&&\dots&&\\\\-1/1&&-1/2&&-1/3&&-1/4&&-1/5&&\dots&&\\\\2/1&&2/2&&2/3&&2/4&&2/5&&\dots&&\\\\-2/1&&-2/2&&-2/3&&-2/4&&-2/5&&\dots&&\\\\3/1&&3/2&&3/3&&3/4&&3/5&&\dots&&\\\\-3/1&&-3/2&&-3/3&&-3/4&&-3/5&&\dots&&\\\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\\\end{array}

Primero el cero. En la primera fila todas las fracciones con numerador 1, en la segunda fila las fracciones con numerador -1, en la tercera fila todas las fracciones con numerador 2, luego todas las fracciones con numerador -2, etc.

Eliminamos las fracciones equivalentes que representan algún número que ya consideramos anteriormente (por ejemplo la fracción 2/2 es equivalente a 1/1 porque ambas representan el 1), para no contar esos números más de una vez. Luego los recorremos de forma zigzagueante, con tramos ascendentes y otros descendentes, comenzando desde el 0 y continuando como se muestra en la figura:

\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrc}0&&&&&&&&&&&&\\{\downarrow}\\1/1&{\rightarrow}&1/2&&1/3&{\rightarrow}&1/4&&1/5&&\dots&&\\&{\swarrow}&&{\nearrow}&&{\swarrow}\\-1/1&&-1/2&&-1/3&&-1/4&&-1/5&&\dots&&\\{\downarrow}&{\nearrow}&&{\swarrow}&&{\dots}\\2/1&&  \otimes  \  &&2/3&&  \otimes  \  &&2/5&&\dots&&\\&{\swarrow}&&{\nearrow}\\-2/1&& \otimes  \  &&-2/3&&  \otimes  \  &&-2/5&&\dots&&\\{\downarrow}&{\nearrow}\\3/1&&3/2&& \otimes  \ &&3/4&&3/5&&\dots&&\\\\-3/1&&-3/2&&  \otimes   \ &&-3/4&&-3/5&&\dots&&\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\\\end{array}

Esta noción de que se pueden “listar” los números, identificar el primero, el segundo, el tercero, etcétera, de fondo está definiendo la relación que aparea cada número racional con un número natural, si bien en este caso no estamos escribiendo de forma explícita cuál es dicha relación.

En el siguiente enlace podrán encontrar otra demostración de este hecho, con un método diferente y bello:

https://www.gaussianos.com/el-arbol-de-stern-brocot-y-la-numerabilidad-de-los-numeros-racionales/

Entonces ¿todos los conjuntos infinitos son numerables?

No. El conjunto de los números reales \mathbb{R} contiene a todos los que mencionamos antes \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} e incluye además a los números irracionales (aquellos que no pueden ser expresados como una fracción), por ejemplo algunos famosos \sqrt{2},  \sqrt{5}, \pi.

En la próxima nota (Parte II) les mostraré que el conjunto \mathbb{R} es infinito no numerable. Es decir, contiene infinitos elementos y más que \mathbb{N}. Luego, el infinito no es único, existen infinitos más grandes que otros y conjuntos cuyo cardinal es mayor que \aleph_{0}.

¿Cuántos infinitos existen?


[1] Hay quienes sostienen que es insólita la sola idea de construir una teoría sobre el infinito (actual), porque la misma idea de infinito conlleva una característica de inabarcabilidad que haría imposible nuestra captación de las totalidades infinitas. Cuando se define el infinito como aquello que es de tal o cual manera, ya es un modo de ser limitado o condicionado. Es como si el infinito no pudiera, por definición, ser definido.

Para escribir esta nota me basé principalmente en el libro “Conjuntos e infinitos” de Ana Carolina Sartorio. 2000. Eudeba.

15 COMENTARIOS

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