Del Teorema de Pitágoras al Último Teorema de Fermat

En esta oportunidad vengo a contarles una historia que me impactó hace muchos años atrás. Es la historia de una conjetura que se transformó en teorema al ser demostrada más de 350 años después de su afirmación. Se imaginan que durante los años que transcurrieron fueron diversas las técnicas y vasto el desarrollo matemático que se produjo y ahí está la clave de mi extrañeza. La conjetura es muy simple de entender, pero no así su demostración ¡Allá vamos!

En matemática, cuando unx advierte una relación que se verifica en muchos casos empieza a sospechar que podría pasar “para todos los casos” entonces se plantea una conjetura “afirmo que tal cosa sucede en todos los casos”. Ahora bien, puedo construir algunos (o muchísimos) ejemplos donde se verifique esto que afirmo, pero ¿cómo recorrer los infinitos casos posibles? ¿cómo hacer para demostrar que cierta relación se verifica, por ejemplo, para todos los números enteros?

Los conjuntos numéricos se fueron construyendo (¿descubriendo?), primero con los números naturales que son aquellos que usamos para contar: 1, 2, 3, 4… , luego se incluyeron los números enteros negativos para responder la pregunta ¿cuánto es 3-5?, y el cero que es una forma de representar la nada. Con estos números se pueden resolver operaciones básicas, sumas, restas y multiplicaciones, pero cuando se dividen, algunos resultados caen fuera de este conjunto de números. Por ejemplo, al resolver 8 dividido 2 el resultado es 4 y este es un elemento del conjunto de números enteros, pero si se quiere resolver 2 dividido 8, el resultado ya no es entero. Es así como se construyen los números fraccionarios o racionales.

Pitágoras de Samos (S. VI a.C.)

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que desarrolló la idea de la lógica numérica. Su particular interés permitió que los números dejaran de ser usados exclusivamente para contar y calcular, y sean valorados por derecho propio. Estudió las propiedades de algunos números, las relaciones entre ellos y los patrones que forman. Se dio cuenta de que los números existen de forma independiente al mundo tangible y que, por lo tanto, su estudio estaba libre de la contaminación producida por las imprecisiones de la percepción. Esto significaba que podía descubrir verdades que eran independientes de la opinión o del prejuicio y que eran más absolutas que cualquier conocimiento anterior.

Definió, por ejemplo, los Números perfectos: son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores positivos (menores que él mismo). El 6 es un número perfecto, ya que sus divisores positivos 1, 2 y 3 sumados dan 6. Otro ejemplo es el 28, la suma de todos sus divisores positivos 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, el tercer número perfecto es el 496 y el cuarto el 8128… Además, Pitágoras encontró otra propiedad que verifican los números perfectos: se pueden escribir como la suma de los primeros números enteros positivos consecutivos:

6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+…+30+31

Dos siglos más tarde, el matemático y geómetra Euclides (S. IV a.C.) encontró otra relación que verifican los números perfectos, se pueden describir como el producto de dos números muy particulares:

\begin{array}{lcl} 6&=&2^{1} \,\text{x}\, (2^{2}-1)\\ 28&=&2^{2}\, \text{x}\, (2^{3}-1)\\ 496&=&2^{4}\, \text{x}\, (2^{5}-1)\\ 8128&=&2^{6}\, \text{x}\, (2^{7}-1)\end{array}

Es decir, cada número perfecto puede escribirse como el producto de una potencia de 2 y el número anterior a la potencia de 2 consecutiva. ¡Qué loco!

Los computadores continuaron esta búsqueda y encontraron un número perfecto que verifica la relación que propuso Euclides y ¡tiene más de 130.000 dígitos!

2^{216090}\, \text{x}\, (2^{216091}-1)

Hay un resultado muy conocido que fue comprobado por —y por lo tanto atribuido a—Pitágoras que enuncia la relación que se verifica entre los lados de un triángulo rectángulo y seguramente les resulte familiar:

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

En la figura z representa a la hipotenusa y los catetos del triángulo tienen nombre x e y.

Un triángulo rectángulo es aquél que tiene uno de sus ángulos interiores recto (mide 90º sexagesimales o en radianes \frac{\pi}{2}). La hipotenusa del triángulo es el lado opuesto al ángulo recto, los otros dos lados (que son adyacentes al ángulo recto) se llaman catetos.

El famoso Teorema de Pitágoras, en su lenguaje simbólico, da lugar a la siguiente ecuación:

$x^2+y^2=z^2$

Este resultado ya lo usaban los chinos y los Babilonios mil años antes. Tiene la categoría de “teorema” porque está demostrado que vale para todo triángulo rectángulo, independientemente de si podemos dibujarlo en una hoja o si el triángulo tiene lados que miden kilómetros. Es uno de los teoremas que tiene mayor cantidad de demostraciones distintas. Interesadxs ¡Googleen!

Una de las pruebas de la validez del Teorema de Pitágoras


Ahora bien, si pensamos en las soluciones enteras de esta ecuación, quiero decir, ternas de números enteros (x,y,z) que verifican esta relación, es lo que llamamos las ternas pitagóricas: un ejemplo clásico es (3,4,5) porque 3^2+4^2=5^2, otro ejemplo es (5,12,13) ya que estos números verifican la relación 5^2+12^2=13^2. Una pregunta natural sería ¿cuántas ternas pitagóricas existen? La respuesta es: infinitas.

A su vez, este resultado permitió clasificar los triángulos rectángulos: cada vez que la relación entre los lados de un triángulo verifique la igualdad del Teorema de Pitágoras, podremos afirmar que estamos ante un triángulo que tiene uno de sus ángulos interiores recto.


Si queremos calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, podemos ver que se puede interpretar a esta diagonal como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1. Si llamamos z al lado que queremos calcular y usamos la regla de Pitágoras, la solución positiva sería


1^2+1^2=z^2 \Rightarrow z^2=2 \Rightarrow z=\sqrt{2}

La longitud de la diagonal no es un número entero ni racional. Es por esto que se incluyen los números irracionales al conjunto de números conocido hasta el momento. Su nombre —irracionales, no-racionales— enfatiza que son números que no pueden escribirse como una fracción. En otra entrega contaremos cuántos números de cada conjunto hay (les adelanto que son infinitos pero ¿dos conjuntos infinitos tienen la misma cantidad de elementos? ¿se comparan los infinitos?) … 

¿Y si cambio un número?

Mucho tiempo después, el jurista y matemático francés Pierre de Fermat (S. XVII), que al parecer estaba interesado en redescubrir el antiguo conocimiento griego, hizo una pregunta que nadie había planteado hasta el momento (o no se tiene registro de ello) y con esto formuló uno de los problemas más simples de entender y más difíciles de demostrar hasta el momento.

Algunas versiones lo describen como una persona introvertida, tímido y reservado, otras versiones dicen que era conocido entre sus contemporáneos como un provocador, por afirmar diversos resultados sin dar su demostración. Según parece Fermat no quería revelar sus demostraciones, no le interesaba compartir ni debatir sus descubrimientos con nadie más. Él disfrutaba por el sólo hecho de descubrir estas relaciones que se verificaban entre los números y estaba convencido de sus pruebas y afirmaciones, lo demás le parecía una “pérdida de tiempo”, no quería distraerse con preguntas mezquinas de sus críticos. El hecho de que no se conociera la demostración de esas afirmaciones hizo que al pasar los años quedaran como “conjeturas” hasta mucho tiempo después.

Gran parte del trabajo del matemático y físico suizo Leonhard Paul Euler (S. XVIII) en Teoría de números —una de las tantas ramas de matemática pura—, estuvo basado en el trabajo de Fermat. Euler fue uno de los matemáticos que se dedicó a estudiar una a una las observaciones que había dejado inconclusas Fermat. Logró demostrar o descartar (comprobar su falsedad) casi todas las conjeturas, salvo la “octava conjetura de Fermat” que se convierte así en el famoso último Teorema de Fermat, un problema que quedó abierto por más de 350 años y fue demostrado recién en 1995 (después de haber presentado una demostración fallida en 1993), por el matemático estadounidense Andrew Wiles.

¿En qué consiste el Último Teorema de Fermat?

Ya hablamos de la ecuación x^2+y^2=z^2 y las ternas de números enteros que la resuelven. Fermat se preguntó ¿y si en vez de elevar al cuadrado busco las soluciones enteras de la ecuación x^3+y^3=z^3? o ¿x^4+y^4=z^4?…
La afirmación de Fermat fue que no existe ninguna terna de números enteros que verifique esta relación. Y más aún, la conjetura de Fermat fue un poquito más allá. La nota que dejó escrita en un libro y que generaría el desafío para la posteridad fue:

“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.”

“Es imposible descomponer un cubo como suma de dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero la demostración de este hecho no cabe en el margen de este libro.”

Las conjeturas que dejó Fermat para la posteridad

La octava conjetura de Fermat: “Sea n un número natural mayor que 2. No existen números enteros x, y, z que verifiquen la ecuación x^n+y^n=z^n“.

Euler encontró entre algunos escritos de Fermat, mezclado con otras demostraciones, algunas notas que contenían la demostración de este hecho para el caso n=4. La técnica que utilizó se conoce como el método del descenso infinito y la demostración por el absurdo: parte de suponer que existen números X_1, Y_1, Z_1, que verifican la ecuación X_1^4+Y_1^4=Z_1^4 y por medio de manipulaciones algebraicas, este hecho implica que existe otra terna de números más chicos que los originales que también verifican la ecuación. Así, en sucesivos pasos, se encuentran infinitas ternas, cada vez con valores más chicos que la verifican. Pero este hecho nos lleva a una contradicción, ya que el conjunto de los números enteros positivos tiene un valor mínimo. La contradicción proviene de suponer que existe alguna terna de números que verifica la ecuación, probando así que dicha terna no existe.

Euler quiso plantear un método análogo para el caso n=3, pero no lo logró directamente sino que debió ampliar el conjunto de números conocidos y un nuevo concepto, el de número imaginario. Este número viene a responder ¿cuál es la raíz cuadrada de -1? Usando este nuevo conjunto numérico pudo adaptar la estrategia del método del descenso infinito para demostrar el caso n=3, y corría el año 1753. Más de cien años después del anuncio de la conjetura sólo se había logrado demostrar que era cierta para los casos n=3, n=4.

Más adelante se supo que el caso n=3 servía para demostrar que no tenían soluciones enteras los casos con potencias que fueran múltiplo de 3\, (6, 9, 12, …) y de la misma forma, la demostración de Fermat para el caso n=4 sirvió para demostrar que las ecuaciones con potencias que fueran múltiplo de 4\, (8, 12, 16, …) tampoco tendrían soluciones enteras.

En 1825 se conoció la demostración para el caso n=5, llevado a cabo de forma independiente por Legendre y Dirichlet, que basaron su demostración en las técnicas desarrolladas por Sophie Germain (¡una mujer por fin!). En 1839, Lamé demostró que la conjetura era cierta para el caso n=7… Es bueno detenernos aquí para reflexionar: si los números enteros son infinitos, la cantidad de ecuaciones x^n+y^n=z^n es infinita, no podremos recorrer uno a uno los valores de n porque demandaría tiempo infinito.

Lo que necesitábamos era una demostración que probara que para los infinitos valores de n la afirmación de Fermat era cierta o, por el contrario, un contraejemplo: alguna terna de números que verificara la ecuación para algún valor de n, contradiciendo la conjetura y demostrando su falsedad.

Por otro lado en este mundo…

En el año 1955, en Tokio, se llevó a cabo un simposio internacional en el que dos matemáticos “heterodoxos” plantearon una conjetura que se denominó “la conjetura de Taniyama-Shimura” que relacionaba las ecuaciones elípticas con las formas modulares (¿lo qué?), dos grandes temas que aparentaban no tener una relación. Ellos plantearon que eran algo así como “dos caras de la misma moneda”. Establecer la relación entre temas que responden a lógicas aparentemente distintas es muy importante en términos creativos, tanto en la matemática como en cualquier otra disciplina. Construye un puente y genera aportes en ambos campos de estudio. Un problema sin resolver en un área de las matemáticas podría transformarse en un problema análogo en otra área, donde un nuevo arsenal de ideas podría utilizarse para abordarlo. Suponiendo que esta conjetura era cierta se probaron numerosos resultados, con el riesgo de que en algún momento alguien probara lo contrario y caerían estas pruebas como un castillo de naipes de base inestable.

Fue Ken Ribet quien estableció por el año 1986 la relación entre la conjetura de Taniyama-Shimura y la octava conjetura de Fermat. Si alguien demostraba que la conjetura de Taniyama-Shimura era cierta, también habría demostrado que la conjetura de Fermat lo era, y si, por el contrario, se probaba su falsedad, esto implicaría la falsedad de la octava conjetura de Fermat.

Es a partir de este momento que Andrew Wiles recobra las esperanzas y trabajará por varios años exclusivamente para intentar demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura y en ese caso demostraría en el mismo momento la conjetura de Fermat a la que ya le había dedicado muchos años de su vida, usando diversas técnicas, estudió los trabajos de todxs aquellxs que le antecedieron en busca de la prueba misteriosa. Era un problema que lo obsesionaba desde pequeño, cuando supo de él por curiosear en la biblioteca. El problema era muy simple de entender y no había sido demostrado por más de 300 años, lo que generaba un atractivo mayor.

Cuando Wiles presentó por primera vez una demostración en 1993, lo hizo después de 7 años de trabajo exclusivo. Muchas de las técnicas que utilizó no existían cuando él comenzó. Vinculó ideas y creó nuevos conceptos. El desafío planteado por esta conjetura hizo florecer durante todo el recorrido diversas estrategias, conceptos y definiciones. En algún sentido, muchxs habían estado trabajando en Fermat, pero por separado y sin tenerlo como meta, de hecho, la demostración exigió todo el poder de las matemáticas modernas.

Un par de meses después de haber presentado la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura en un congreso en Cambridge, su ciudad natal, el jurado elegido para su estudio y revisión encontró una falla en la demostración. Andrew estuvo dos años más trabajando intensamente, en un ahogado encierro para enmendar el error. En el momento en el que estaba por darse por vencido y se le agotaban las esperanzas… ¡Lo logró! ¡Pudo corregir el error y ahora sí, que lo había demostrado! Al respecto de su logro Andrew Wiles reflexiona sobre el sentimiento de pérdida de un problema que nunca más sería su compañía constante: “Me había envuelto tanto en el problema que realmente sentía que lo tenía todo para mí, pero ahora lo estaba dejando ir. Tenía la sensación de estar renunciando a una parte de mí”.

Las dudas que quedan…

¿Tendría Fermat, conocido como el príncipe de las matemáticas, una demostración de su afirmación? ¿Existirá una demostración con las técnicas y conocimientos desarrollados hasta ese momento? ¿Será que Fermat había desarrollado técnicas que no publicó y quedaron en la oscuridad del desconocimiento?

Difícilmente lo sabremos, lo que sí les puedo decir es que este retazo de historia es sólo un fragmento de una mucho más extensa e interesante que contiene en sí misma muchas historias. Espero que les haya gustado y despertado cierta curiosidad…

13 COMENTARIOS

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  2. Me encantó, Ana. Y celebro la promesa creativa de intentar “Establecer la relación entre temas que responden a lógicas aparentemente distintas”. Los vínculos fascinantes y misteriosos entre el lenguaje y las matemáticas siempre me dispararon muchísimas ganas de bucear en las profundidades de las relaciones y las equivalencias. Te voy a citar 😉 ¡Gracias!

  3. Ana me encantó esta nota y me hizo volver a hacer algunos cálculos con lápiz en papel ….
    Hacer cuentas y “que me salieran” siempre me produjo una cierta felicidad, así que fue una lectura exigente y placentera ….
    Las historias que apenas esbozas, de estos hombres y esta mujer, me resultaron fascinantes y me gustaría saber más sobre sus vidas. Así que se cumple tu deseo final ya que despertó mi curiosidad.
    Y también me guardo algunas palabras y frases que despertaron mi imaginación y podrían llegar a ser disparadoras de alguna historia inventada. Te cuento cuáles son: “Conjetura”, “Verdades independientes de la opinión”, “Percepciones imprecisas” y “Sentimiento de pérdida de un problema que nunca más sería su compañía constante”
    Gracias Ana!

    • Qué bueno todo lo que contás, gracias por leer y escribir 🙂
      Es una historia que me resultó atrapante y me hizo pensar en todos los aportes y la construcción (colectiva) necesaria para continuar desarrollando el conocimiento. Es un tema súper puntual que precisó de muchxs pensando en esto. Y así con cada uno de los hilos de esta trama que es el conocimiento y que no es propiedad de nadie, sino de todxs. Sumado a la importancia de la transmisión del conocimiento generación tras generación.

  4. Cuando Homero Simpson se hace inventor, se ve en su pizarra una terna de números que cumplen con esta forma, con n = 12. Lo mismo pasa cuando se va al mundo 3D…. otra igualdad con las mismas características pasa volando.

    Si las chequeamos con la calculadora, parecen correctas.

    ¿2 comprobaciones de que Fermat estaba equivocado?

    (Google time )

    • ¿Cuáles son esos números?!
      Ya que el teorema quedó demostrado pensaría que es un error, pero si tenés la terna la evaluamos =)

      • 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

        3987¹² + 4365¹²= 4472¹²

        Si si. Es un error del cálculo con calculadoras viejas…. Cómo que te redondea después de muchos dígitos y te da la igualdad. Era como un chiste muy nerdo oculto. ( Incluso si los cálculas con el celular hoy ya no te da )

        Muy buena la nota. Espero un recuento de las comprobaciones más lindas del teorema de Pitagoras 😜

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